در سوال ۱، میخواهیم ثابت کنیم که قطرهای متوازیالاضلاع یکدیگر را نصف میکنند. در یک متوازیالاضلاع مانند \(ABCD\)، قطرها \(AC\) و \(BD\) در نقطه \(O\) یکدیگر را قطع میکنند. باید ثابت کنیم \(OA = OC\) و \(OB = OD\).
برای اثبات، از ویژگی متوازیالاضلاع استفاده میکنیم که اضلاع مقابل با هم برابر و موازیاند:
1. \(AB \parallel CD\) و \(AD \parallel BC\)
2. با استفاده از تساوی زاویهها به دلیل موازی بودن اضلاع و داخلی بودن زوایا:
\(\angle AOB = \angle COD\) و \(\angle OAB = \angle OCD\)
3. دو مثلث \( \triangle AOB \) و \( \triangle COD \) مساوی هستند طبق حالت \(ASA\) (دو زاویه و ضلع بین آنها)
4. بنابراین \(OA = OC\) و \(OB = OD\).
در سوال ۲، باید ثابت کنیم که در هر مستطیل، قطرها با یکدیگر برابرند. پس به سادگی برای مستطیل \(ABCD\) با قطرهای \(AC\) و \(BD\):
1. از قضیه فیثاغورس استفاده کرده و در هر دو مثلث قائمالزاویه (به دلیل زوایای راست مستطیل):
\((AC)^2 = (AB)^2 + (BC)^2\)
\((BD)^2 = (AB)^2 + (BC)^2\)
2. بنابراین \(AC = BD\).
این دو ویژگیها از موارد اساسی در هندسه متوازیالاضلاع و مستطیل هستند.
